钢笔论坛

标题: 一个数学问题求解答。。。 [打印本页]

作者: 泡... 时间: 2012-2-9 18:08
标题: 一个数学问题求解答。。。
[attach]417075[/attach]
看了3遍我仍表示我震惊了，。。

作者: chlogan 时间: 2012-2-9 18:33
本帖最后由 chlogan 于 2012-2-9 18:42 编辑

但是第4行中，（∞-1）9怎么会等于∞9呢。。。。。

作者: RayChan 时间: 2012-2-9 18:33
http://baike.baidu.com/view/1834050.htm
钓鱼文喔。。。还有一种证法：1/3=0.333... 0.333...*3=0.999...=(1/3) *3=1

作者: doubleu2005 时间: 2012-2-9 19:29
障眼法，10a小数点后移一位，则小数点后永远都少一个9

作者: 泡... 时间: 2012-2-9 19:55

。。

作者: yybeatles 时间: 2012-2-9 20:03
用初等数学的思想理解高等数学。。。。
最后一行就是标准的高等数学里极限的定义。。。

作者: Hennessy 时间: 2012-2-9 20:06
这个解法是对的呀，小学五年级时看到过，标题是“纯小数都小于1吗？”

作者: chamferq 时间: 2012-2-9 20:07
正解：lim0.9999999......=1，等比数列求和嘛～

作者: 武武武武武 时间: 2012-2-9 20:10
3楼正解。楼主高中数学不及格吧

而且这本身就是1=0.99……的一个证明。
简单的理解就是 1-0.99……小于所有的正数，所以只能小于等于0.
只要想想是否存在一个正数小于 1-0.99……就好理解了吧？

作者: Hennessy 时间: 2012-2-9 20:10
当然这个不太为多数人接受也是正常的，因为无限的概念是抽象的，就连当年一直研究无线的康托，最后也是得了精神病。。。

作者: chamferq 时间: 2012-2-9 20:10
十分之九百分之九千分之九 ......好了，高二及以上学生可以算了～

作者: 泡... 时间: 2012-2-9 20:13

3楼正解。楼主高中数学不及格吧
而且这本身就是1=0.99……的一个证明。
简单的理解就是 1-0.99……小 ...
武武武武武发表于 2012-2-9 20:10

不会吧。。。。1不等于0.9999999999.。。。的吧哪怕9再多

作者: 泡... 时间: 2012-2-9 20:13

这个解法是对的呀，小学五年级时看到过，标题是“纯小数都小于1吗？”
Hennessy 发表于 2012-2-9 20:06

球孵蛋的教学。。

作者: 泡... 时间: 2012-2-9 20:14

正解：lim0.9999999......=1，等比数列求和嘛～
chamferq 发表于 2012-2-9 20:07

这个数列有关么。。。。怎么和极限又搭上了。。。

作者: Hennessy 时间: 2012-2-9 20:14
话说泡泡，这个更经典啊
a=1-1+1-1+1-1+...
1-a=1-(1-1+1-...)=1-1+1-1+...
1-a=a
a=1/2
1/2=1-1+1-1+...

作者: 泡... 时间: 2012-2-9 20:15

障眼法，10a小数点后移一位，则小数点后永远都少一个9
doubleu2005 发表于 2012-2-9 19:29

好像明白一点

作者: 武武武武武 时间: 2012-2-9 20:15
回复 12# 泡...

有限多当然再多也没用啊。但是这里是无限多的意思。什么叫无限？

作者: 泡... 时间: 2012-2-9 20:16

话说泡泡，这个更经典啊
a=1-1+1-1+1-1+...
1-a=1-(1-1+1-...)=1-1+1-1+...
1-a=a
a=1/2
1/2=1-1+1-1+ ...
Hennessy 发表于 2012-2-9 20:14

擦。。。

作者: 泡... 时间: 2012-2-9 20:16

求简单的不能再简单版本的讲解

作者: 武武武武武 时间: 2012-2-9 20:17

话说泡泡，这个更经典啊
a=1-1+1-1+1-1+...
1-a=1-(1-1+1-...)=1-1+1-1+...
1-a=a
a=1/2
1/2=1-1+1-1+ ...
Hennessy 发表于 2012-2-9 20:14

非绝对收敛的级数不能随意加（）和调换顺序。
话说还是先等楼主理解什么叫极限以后再说这个吧……

作者: 小号100 时间: 2012-2-9 20:20
按照高等数学中求极限的方法，lim0.99999999……=1

作者: Hennessy 时间: 2012-2-9 20:22

求简单的不能再简单版本的讲解
泡... 发表于 2012-2-9 20:16

你啥时来我家，给你本丛书看看吧，你就会知道为什么自然数的“个数”和完全平方数“个数”还有整数及实数的“个数”都是一样的。或者说，一条线段上点的“个数”和全宇宙点的“个数”也是一样的。你还能知道x^2=x这个方程除了0和1两个实数解，还有另两个“无穷”解。

作者: 泡... 时间: 2012-2-9 20:23

你啥时来我家，给你本丛书看看吧，你就会知道为什么自然数的“个数”和完全平方数“个数”还有整 ...
Hennessy 发表于 2012-2-9 20:22

作者: chamferq 时间: 2012-2-9 20:24
好吧，泡。。。10分之9加100分之9加1000分之9……这个不就是等比数列求和麽？首项和公此都有啦，列个公式算一下啦，极限等于1咯。

作者: chamferq 时间: 2012-2-9 20:25
回复 21# 小号100

握手～

作者: doubleu2005 时间: 2012-2-9 20:27

求简单的不能再简单版本的讲解
泡... 发表于 2012-2-9 20:16

极限是近似算法，如果按严格意义上的理想算法是这样的：
a=0.99999......(小数点后n个9，n-〉无穷)
10a=9.9999.....(此时小数点后n-1个9，因为有一个9跑到小数点前面了，n-〉无穷，因为a是同一个数，因此a所包含的9的总个数是一样的)
10a=9+0.9999......(此时的0.9999......比原来的a少一个9，因为有一个9跑到小数点前面了)
10a=9+a* （a*代表小数点后n-1个9，n-〉无穷）
后面就好理解了

作者: chamferq 时间: 2012-2-9 20:27
回复 22# Hennessy

好像在哪里看过，神马首尾数来着。。。

作者: Napoleon归来 时间: 2012-2-9 20:28
你们不要欺负泡泡看不懂高数
谢谢

作者: 小号100 时间: 2012-2-9 20:30
回复 25# chamferq

作者: 泡... 时间: 2012-2-9 20:31

你们不要欺负泡泡看不懂高数
谢谢
Napoleon归来发表于 2012-2-9 20:28

作者: chamferq 时间: 2012-2-9 20:33
回复 28# Napoleon归来

我的是高中的版本啦～

作者: 泡... 时间: 2012-2-9 20:37
回复 26# doubleu2005 o了

作者: 泡... 时间: 2012-2-9 20:38

回复 Napoleon归来

我的是高中的版本啦～
chamferq 发表于 2012-2-9 20:33

你还真当我没学过。。。。

虽然挂了

作者: chamferq 时间: 2012-2-9 20:41
回复 33# 泡...

玩笑。。玩笑。收拾行李，明天上学～

作者: chamferq 时间: 2012-2-9 20:45

你还真当我没学过。。。。虽然挂了
泡... 发表于 2012-2-9 20:38

泡总明明是知道捉弄我们的吧。。。

作者: 泡... 时间: 2012-2-9 20:46
回复 35# chamferq

没有好哇。。。不过真的没觉得和高数扯得上啥关系。。。。

作者: RayChan 时间: 2012-2-9 21:36
不知道你发现没有0.999...其实是一个以1为极限的变量，它不是0.999...99，后面的9可以有无限多个，因而不存在某人说的少一个9或多一个9。因而准确的来说，0.999...极限为1（其实写下0.999...就已经默认是极限状态了）。其实这里面有一个绕不过去的坎儿（这个数和1只差无穷小），就是“什么是无穷小量”，以及它为什么有时候可以忽略。极限学说只是目前大多数人能接受的观点。有人用一个点来解释无穷小量，点没有面积，但却是有面积图形的唯一组成部分，不是“无”。可以参考http://baike.baidu.com/view/454622.htm 上面有数学定义，以及哲学上的论述。
话说当年牛顿葛格终其一生也未能完美解释无穷小量...较真的学生意识到极限意味着什么时，大多会有种大脑被塞进榨汁机的感觉，crush your brain 呵呵

作者: 泡... 时间: 2012-2-9 21:40

不知道你发现没有0.999...其实是一个以1为极限的变量，它不是0.999...99，后面的9可以有无限多个，因而不存 ...
RayChan 发表于 2012-2-9 21:36

就是这个意思了

我前面少打个省略号。。。。。

作者: 查尔斯 时间: 2012-2-9 22:01
泡总，，这个在相对论吧里的话，上个夏天闹得挺热闹的的

，有空去看看？
反相也可常去，绝对爆笑的
ps，相对论吧的话是正规但不学术的，泡总大可放心，反相的话，就当个笑话看吧

作者: 泡... 时间: 2012-2-9 22:05

泡总，，这个在相对论吧里的话，上个夏天闹得挺热闹的的，有空去看看？
反相也可常去，绝对爆笑的
ps ...
查尔斯发表于 2012-2-9 22:01

作者: 武武武武武 时间: 2012-2-9 22:29

不知道你发现没有0.999...其实是一个以1为极限的变量，它不是0.999...99，后面的9可以有无限多个，因而不存 ...
RayChan 发表于 2012-2-9 21:36

其实这里0.999……就是那个变量的极限。那个变量和1差个无穷小量，因此无穷小量就是一个以0为极限的变量。

作者: RayChan 时间: 2012-2-9 22:34
回复 41# 武武武武武

作者: 阿波罗 时间: 2012-2-9 22:43
坛子里有北大数学系的，你可以呼叫gggggh……

作者: 武武武武武 时间: 2012-2-9 22:55

回复 42# RayChan

作者: zl880211 时间: 2012-2-9 22:58
这个，高数知识吧

作者: 羽暘 时间: 2012-2-9 23:04
数分呗，当初学的时候对证明题就俩反应：
1 擦，这TM还用证？
2 擦，这TM也能证？

作者: aqua2001 时间: 2012-2-9 23:13
最基本的解释是这样：
1. 什么叫无限小数？所谓0.abcd....的意思，其实是a/10+b/100+c/1000+d/10000+...
2. 什么叫无穷求和？所谓无穷项的和，是有限项和的极限（记号不好打）。
3. 0.999...等于9/10+9/100+9/1000+...
4. 这是一个等比数列的求和。这个无穷和的公式中学就学过，算出来恰是1。

作者: 泡... 时间: 2012-2-9 23:16

坛子里有北大数学系的，你可以呼叫gggggh……
阿波罗发表于 2012-2-9 22:43

要是有北师大的就好。。。

作者: 星海 时间: 2012-2-9 23:39
泡数学不过关啊，文科吧，呵呵，位数不一样啊

作者: 泡... 时间: 2012-2-9 23:40

泡数学不过关啊，文科吧，呵呵，位数不一样啊
星海发表于 2012-2-9 23:39

理科哦。。。

作者: eddieguo 时间: 2012-2-10 00:21
无聊的数学!

作者: 武武武武武 时间: 2012-2-10 01:18

数分呗，当初学的时候对证明题就俩反应：
1 擦，这TM还用证？
2 擦，这TM也能证？
羽暘发表于 2012-2-9 23:04

哈哈，太贴切了。

作者: 羽暘 时间: 2012-2-10 01:24

哈哈，太贴切了。
武武武武武发表于 2012-2-10 01:18

作者: Champollion 时间: 2012-2-10 14:12
极限很难理解

尽管能够证明，但是还是理解滴有困难……

作者: Champollion 时间: 2012-2-10 14:44
唉，说到证明，刚刚爬去尝试用极限定义证明，然后把自己绕进去了－－b 5555常年不用数分，果然越来越差了……

求高人用极限定义证一下，主要是求出N的表达式……

作者: 武武武武武 时间: 2012-2-10 17:13
回复 55# Champollion

呵呵，这个很简单的啊。
Xn=1-1/10^n, 证明 lim Xn=1.
任取 a>0, 取自然数 N>lg(1/ a), 则 1/10^N<a, 所以对于任意 n>N, |1-Xn|=1/10^n<1/10^N<a.
由a的任意性，得 lim Xn=1。
证完了。

作者: Champollion 时间: 2012-2-10 17:58

回复 Champollion

呵呵，这个很简单的啊。
Xn=1-1/10^n, 证明 lim Xn=1.
任取 a>0, 取自然数 ...
武武武武武发表于 2012-2-10 17:13

对对对……好久木有用lg了……都想不起来它……

作者: pathofwind 时间: 2012-2-10 20:38
楼主，这个证明没有问题的，a在数学上就是=1的！

作者: lyfy 时间: 2012-2-11 10:00
10a=9+0.99999...
这个过程有问题的吧－－
10a等于十个0.999999...相加不是么
前面九个0.9999999...怎么变成9了？
我觉得就是错在这里整个过程

作者: Get 时间: 2012-2-11 10:16
本帖最后由 Get 于 2012-2-11 10:19 编辑

你啥时来我家，给你本丛书看看吧，你就会知道为什么自然数的“个数”和完全平方数“个数”还有整 ...
Hennessy 发表于 2012-2-9 20:22

实数的个数比自然数多，那是N1级的。自然数，有理数，完全平方数，奇数，偶数那些，倒是都是N0

作者: 泡... 时间: 2012-2-11 10:20
围观孵蛋牛津掐架

作者: Get 时间: 2012-2-11 12:18
回复 61# 泡...
不是掐，估计是当时一时手误罢了

作者: 武武武武武 时间: 2012-2-11 17:54

10a=9+0.99999...
这个过程有问题的吧－－
10a等于十个0.999999...相加不是么
前面九个0.9999999...怎么 ...
lyfy 发表于 2012-2-11 10:00

前面几行不就是解释前面9个0.99999……怎么变成9的嘛。
事实摆在眼前啊，有什么问题么？
如果没有问题，还是实事求是吧

作者: lyfy 时间: 2012-2-11 18:01
本帖最后由 lyfy 于 2012-2-11 18:08 编辑

前面几行不就是解释前面9个0.99999……怎么变成9的嘛。
事实摆在眼前啊，有什么问题么？
如果 ...
武武武武武发表于 2012-2-11 17:54

不好意思我数学不好不高端
不过我只看到了给a赋值 a=0.99999999...
然后两边乘以了 10 10a= 9.9999999...
然后我说的有问题的步骤 ...
如果按照图片说的这么拆不是在这一步已经默认 a=1了的么

作者: 武武武武武 时间: 2012-2-11 18:24
本帖最后由武武武武武于 2012-2-11 18:26 编辑

不好意思我数学不好不高端
不过我只看到了给a赋值 a=0.99999999...
然后两边乘以了 10 10a= ...
lyfy 发表于 2012-2-11 18:01

嗯，他这一步是写得有点跳，且看我慢慢来：
a=0.9999...
10a=10x0.9999....
10x0.9999....=9.9999....
所以 10a=9.9999.....
然后
9.9999....=9+0.9999.....
又因为 a=0.9999...，所以 9+0.9999……=9+a, 所以 9.9999.....=9+a，所以 10a=9.9999....=9+a

这样是否可以了，还有那里觉的不对的话，欢迎继续讨论哈。
PS：这个不需要数学好啊，只要逻辑清晰即可，所以不用担心什么的。

作者: lyfy 时间: 2012-2-11 18:26

嗯，他这一步是写得有点跳，且看我慢慢来：
a=0.9999...
10a=10x0.9999....
10x0.9999....=9. ...
武武武武武发表于 2012-2-11 18:24

9.9999....=9+0.9999.....
－－－
你没看懂我说的－－就是这个不对因为这两个不相等

作者: 武武武武武 时间: 2012-2-11 18:29

9.9999....=9+0.9999.....
－－－
你没看懂我说的－－就是这个不对因为这两个不相等
lyfy 发表于 2012-2-11 18:26

呃，那我真没看懂。那你认为 9+0.9999....=什么？

作者: lyfy 时间: 2012-2-11 18:30
本帖最后由 lyfy 于 2012-2-11 18:32 编辑

呃，那我真没看懂。那你认为 9+0.9999....=什么？
武武武武武发表于 2012-2-11 18:29

这两个不能直接相加的吧
然后等于什么我数学不好不知道怎么算

作者: 武武武武武 时间: 2012-2-11 18:33

这两个不能直接相加的吧
lyfy 发表于 2012-2-11 18:30

这两个数为什么不能相加呢？
不是应该任意两个实数都可以相加的吗。。。。

PS：后来还由此抽象出域的概念，此是后话，暂且不表。。。

作者: 武武武武武 时间: 2012-2-11 18:39
回复 68# lyfy

我再猜测一下，所以说你认为 0.9999....这是个根本不是一个数？
是这个意思吗？

作者: lyfy 时间: 2012-2-11 20:39

回复 lyfy

我再猜测一下，所以说你认为 0.9999....这是个根本不是一个数？
是这个意思吗？
武武武武武发表于 2012-2-11 18:39

- -我是这么想的
a=0.999...
10a=a+a+a+a+a+a+a+a+a+a
=0.999...+0.999...+0.999...+0.999...+0.999...+0.999...+0.999...+0.999...+0.999...+0.999...
------
就到这里嗯我什么实数啊搞不清
lz图那个把前面九个 0.999... 的和＝ 9 了不是么

作者: 武武武武武 时间: 2012-2-11 22:26

- -我是这么想的
a=0.999...
10a=a+a+a+a+a+a+a+a+a+a
=0.999...+0.999...+0.999...+0.999...+0 ...
lyfy 发表于 2012-2-11 20:39

是的，并且给出了符合逻辑的证明。
所以，这就是事实。
除非可以找出证明中的逻辑错误，否则结论就是正确的啊。

作者: lfsy888 时间: 2012-2-11 23:09

话说泡泡，这个更经典啊
a=1-1+1-1+1-1+...
1-a=1-(1-1+1-...)=1-1+1-1+...
1-a=a
a=1/2
1/2=1-1+1-1+ ...
Hennessy 发表于 2012-2-9 20:14

上面这个应该是错的。

a=1-1+1-1+1-1+...
1-a=1-(1-1+1-...)=1-1+1-1+...
1-a=1-1+1-1+...+1=a+1
1-a=a+1
a=0

作者: 武武武武武 时间: 2012-2-12 00:32

上面这个应该是错的。

a=1-1+1-1+1-1+...
1-a=1-(1-1+1-...)=1-1+1-1+...
1-a=1-1+1-1+...+ ...
lfsy888 发表于 2012-2-11 23:09

1-1+1-1+1-1+... 对应的级数不收敛。所以a并不存在。

作者: doubleu2005 时间: 2012-2-12 02:23

是的，并且给出了符合逻辑的证明。
所以，这就是事实。
除非可以找出证明中的逻辑错误，否则结论就是 ...
武武武武武发表于 2012-2-11 22:26

逻辑上本来就是有错误的，所以叫障眼法（因为=号左边的变量a消失了一段时间，下面又冒出来了），请参考我上面的回复，等号的两边的同一变量如果要替换那必须要同步替换，否则不是一个数，极限的结论大家都懂，这个题目不是要证明极限，而是从客观理论上说0.999999......只能是约等于1，不是等于1，
10a=9.99999.....注意等号两边的9的个数是一样多的即使是无穷
10a=9+a 注意多了一个9，因为10a和a的9的个数是一样的，只是小数点的不同，0.99999999......=1是错误的，“=”号代表两边是绝对相等，0.99999999......只有在取极限时也就是加上了lim才是“=”号
我觉得解释的很清楚了，如果看不懂，还要去追求什么极限问题，唉。。。。。。。。

作者: 武武武武武 时间: 2012-2-12 02:51

逻辑上本来就是有错误的，所以叫障眼法（因为=号左边的变量a消失了一段时间，下面又冒出来了），请参考 ...
doubleu2005 发表于 2012-2-12 02:23

10a和a的9的个数确实是一样的（前面get也有帖子提到都是无穷多中的阿列夫0个），不论哪边多了一个（乃至于多出阿列夫0个阿列夫0个的，或者说可数多个的可数多个9）以后，两边都仍然是阿列夫0个，还是一样的。这是因为可以在两者之间始终找到一个一一对应的映射，或者说对于其中之一（等号左边或者右边）的任意一个9，都可以在另一边有一个唯一的9与之对应。
所以完全不存在什么障眼法。
0.9999……本来表达的就是取了极限以后啊，因为这表示后面有无穷多个9，如果没取极限就是有限个9。

作者: fxchina 时间: 2012-2-12 06:24
本帖最后由 fxchina 于 2012-2-12 06:39 编辑

极限很难理解么，其实根本就是一种形式吧（当然数学本身就是形式科学）。
就这个问题，在定义了实数系统之后(其实有理数就足够了，只用到了有理数的稠密性)，0.999....根本就是1，这是实数系统这一系列定义的直接引申，没什么可讨论的吧。。。

一个直观的解释是，
1/9=0.1111....
1/9*9=0.1111....*9
1=0.999...

作者: Get 时间: 2012-2-12 09:36
本帖最后由 Get 于 2012-2-12 09:41 编辑

9.999.....＝9+0.999....＝9+a

同意0.999....本身就是一个极限的写法
同意0.999....根本就是1

要说是不等于，则存在e>0,使得|1－a|>e,而这么个e不存，所以是相等，不是约等
实数之间只存在“<,＝,>"这个3个大小关系，如果不是"=",则肯定是"<"或">"。

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