一个数学问题求解答。。。

泡...

看了3遍我仍表示我震惊了，。。

Get

9.999.....＝9+0.999....＝9+a

同意0.999....本身就是一个极限的写法
同意0.999....根本就是1

要说是不等于，则存在e>0,使得|1－a|>e,而这么个e不存，所以是相等，不是约等
实数之间只存在“<,＝,>"这个3个大小关系，如果不是"=",则肯定是"<"或">"。

fxchina

极限很难理解么，其实根本就是一种形式吧（当然数学本身就是形式科学）。
就这个问题，在定义了实数系统之后(其实有理数就足够了，只用到了有理数的稠密性)，0.999....根本就是1，这是实数系统这一系列定义的直接引申，没什么可讨论的吧。。。

一个直观的解释是，
1/9=0.1111....
1/9*9=0.1111....*9
1=0.999...

武武武武武

逻辑上本来就是有错误的，所以叫障眼法（因为=号左边的变量a消失了一段时间，下面又冒出来了），请参考 ...
doubleu2005 发表于 2012-2-12 02:23

    10a和a的9的个数确实是一样的（前面get也有帖子提到都是无穷多中的阿列夫0个），不论哪边多了一个（乃至于多出阿列夫0个阿列夫0个的，或者说可数多个的可数多个9）以后，两边都仍然是阿列夫0个，还是一样的。这是因为可以在两者之间始终找到一个一一对应的映射，或者说对于其中之一（等号左边或者右边）的任意一个9，都可以在另一边有一个唯一的9与之对应。
所以完全不存在什么障眼法。
0.9999……本来表达的就是取了极限以后啊，因为这表示后面有无穷多个9，如果没取极限就是有限个9。

doubleu2005

是的，并且给出了符合逻辑的证明。
所以，这就是事实。
除非可以找出证明中的逻辑错误，否则结论就是 ...
武武武武武 发表于 2012-2-11 22:26

逻辑上本来就是有错误的，所以叫障眼法（因为=号左边的变量a消失了一段时间，下面又冒出来了），请参考我上面的回复，等号的两边的同一变量如果要替换那必须要同步替换，否则不是一个数，极限的结论大家都懂，这个题目不是要证明极限，而是从客观理论上说0.999999......只能是约等于1，不是等于1，
10a=9.99999.....注意等号两边的9的个数是一样多的即使是无穷
10a=9+a  注意多了一个9，因为10a和a的9的个数是一样的，只是小数点的不同，0.99999999......=1是错误的，“=”号代表两边是绝对相等，0.99999999......只有在取极限时也就是加上了lim才是“=”号
我觉得解释的很清楚了，如果看不懂，还要去追求什么极限问题，唉。。。。。。。。

武武武武武

上面这个应该是错的。

a=1-1+1-1+1-1+...
1-a=1-(1-1+1-...)=1-1+1-1+...
1-a=1-1+1-1+...+ ...
lfsy888 发表于 2012-2-11 23:09

1-1+1-1+1-1+... 对应的级数不收敛。所以a并不存在。

lfsy888

话说泡泡，这个更经典啊
a=1-1+1-1+1-1+...
1-a=1-(1-1+1-...)=1-1+1-1+...
1-a=a
a=1/2
1/2=1-1+1-1+ ...
Hennessy 发表于 2012-2-9 20:14

    上面这个应该是错的。

a=1-1+1-1+1-1+...
1-a=1-(1-1+1-...)=1-1+1-1+...
1-a=1-1+1-1+...+1=a+1
1-a=a+1
a=0

武武武武武

- -我是这么想的
a=0.999...
10a=a+a+a+a+a+a+a+a+a+a
     =0.999...+0.999...+0.999...+0.999...+0 ...
lyfy 发表于 2012-2-11 20:39

是的，并且给出了符合逻辑的证明。
所以，这就是事实。
除非可以找出证明中的逻辑错误，否则结论就是正确的啊。

lyfy

回复  lyfy


    我再猜测一下，所以说你认为 0.9999....这是个根本不是一个数？
是这个意思吗？
武武武武武 发表于 2012-2-11 18:39

- -我是这么想的
a=0.999...
10a=a+a+a+a+a+a+a+a+a+a
     =0.999...+0.999...+0.999...+0.999...+0.999...+0.999...+0.999...+0.999...+0.999...+0.999...
------
就到这里 嗯 我什么实数啊 搞不清
lz图那个 把前面 九个 0.999... 的和 ＝ 9 了 不是么

武武武武武

回复 68# lyfy


    我再猜测一下，所以说你认为 0.9999....这是个根本不是一个数？
是这个意思吗？

武武武武武

这两个不能直接相加的吧
lyfy 发表于 2012-2-11 18:30

    这两个数为什么不能相加呢？
不是应该任意两个实数都可以相加的吗。。。。

PS：后来还由此抽象出域的概念，此是后话，暂且不表。。。

lyfy

呃，那我真没看懂。那你认为 9+0.9999....=什么？
武武武武武 发表于 2012-2-11 18:29

这两个不能直接相加的吧
然后等于什么 我数学不好不知道怎么算

武武武武武

9.9999....=9+0.9999.....
－－－
你没看懂我说的－ －就是这个不对 因为这两个不相等
lyfy 发表于 2012-2-11 18:26

    呃，那我真没看懂。那你认为 9+0.9999....=什么？

lyfy

嗯，他这一步是写得有点跳，且看我慢慢来：
a=0.9999...
10a=10x0.9999....
10x0.9999....=9. ...
武武武武武 发表于 2012-2-11 18:24

    9.9999....=9+0.9999.....
－－－
你没看懂我说的－ －就是这个不对 因为这两个不相等

武武武武武

不好意思 我数学 不好 不高端
不过我只看到了 给a赋值 a=0.99999999...
然后 两边乘以了 10     10a=  ...
lyfy 发表于 2012-2-11 18:01

    嗯，他这一步是写得有点跳，且看我慢慢来：
a=0.9999...
10a=10x0.9999....
10x0.9999....=9.9999....
所以 10a=9.9999.....
然后
9.9999....=9+0.9999.....
又因为 a=0.9999...， 所以 9+0.9999……=9+a, 所以 9.9999.....=9+a，所以 10a=9.9999....=9+a

这样是否可以了，还有那里觉的不对的话，欢迎继续讨论哈。
PS：这个不需要数学好啊，只要逻辑清晰即可，所以不用担心什么的。

lyfy

前面几行不就是解释前面9个0.99999……怎么变成9的嘛。
事实摆在眼前啊，有什么问题么？
如果 ...
武武武武武 发表于 2012-2-11 17:54

不好意思 我数学 不好 不高端
不过我只看到了 给a赋值 a=0.99999999...
然后 两边乘以了 10     10a= 9.9999999...
然后 我说的有问题的步骤 ...
如果按照 图片说的这么拆 不是 在这一步已经默认 a=1了的么

武武武武武

10a=9+0.99999...
这个过程有问题的吧－ －
10a等于十个0.999999...相加不是么
前面九个0.9999999...怎么 ...
lyfy 发表于 2012-2-11 10:00

    前面几行不就是解释前面9个0.99999……怎么变成9的嘛。
事实摆在眼前啊，有什么问题么？
如果没有问题，还是实事求是吧

Get

回复 61# 泡...
不是掐，估计是当时一时手误罢了

泡...

围观孵蛋牛津掐架

Get

你啥时来我家，给你本丛书看看吧，你就会知道为什么自然数的“个数”和完全平方数“个数”还有整 ...
Hennessy 发表于 2012-2-9 20:22

    实数的个数比自然数多，那是N1级的。自然数，有理数，完全平方数，奇数，偶数那些，倒是都是N0